# real analysis 101

i did study real analysis at college a decade ago in Vietnam. those days i kept wondering and wondering what the hell it was with stuff like completeness theorem, Cauchy sequence, Riemann integrable insane functions. it didn’t make any sense to me. my instructor made things mysterious as if we, undergrad students, were Newton, Leibniz, Euler, Weierstrass, Riemann sitting in front of him, just like hell.

i couldn’t help thinking of this useless mathematical world. but recently i’ve changed my mind and started doing things from scratch. firstly, it’s a more natural way to track back to the beginning of calculus itself and keep up to its progress onto the modern real analysis we know today. i did some searches and found out a book called The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue by William Dunham and started read it.

it really helps. i can truly understand what Newton and Leibniz did to lay the foundations for calculus as well as Bernoulli brothers and Euler contributions later. i eventually get to know with the ideas that Cauchy, Weierstrass, Riemann created which set the remarkable real analysis era. then i get used to with the dilemmas up to the real number nature that made Cantor, Baire came to the stage.

as my favorite quote of Laozi which reads “a journey of a thousand miles begin with a single step”, calculus should have been introduced as the way it’s really been developed up to date. then it’s not a bloody hell major to students anymore.

# Sự biên tập, sửa đổi trong kinh điển Pali và A-hàm

Bảng viết tắt

MN 93: Kinh Assalayana, số 93 Trung Bộ

MA 151: Kinh Phạm Chí A-nhiếp-hòa, số 151 Trung A-hàm

PHẦN 1 – SƠ LƯỢC VỀ SỰ BIÊN TẬP KINH ĐIỂN

MỞ ĐẦU

Hệ tam tạng Pali (cùng với hệ tam tạng Hán, và một phần là tam tạng tiếng Sanskrit, tiếng Tây Tạng v.v.) ngày nay được xem là hệ kinh điển gần thời Đức Phật nhất. Theo kinh điển Pali thuật lại thì tam tạng được kết tập ngay sau khi Đức Phật nhập diệt. Ở đây, ta chưa vội bàn tới giá trị lịch sử của lần kết tập thứ nhất dưới sự điều hành của Ngài Mahakassapa như kinh điển Pali thuật lại, mà tạm chấp nhận sự kiện này.

Câu hỏi đặt ra là: từ thời điểm kết tập lần đầu đó cho tới nay, trải qua khoảng 2500 năm, tam tạng Pali của lần kết tập đầu tiên có hoàn toàn được truyền nguyên vẹn tới chúng ta ngày nay hay không? Câu trả lời dễ thấy là không! Ta sẽ khảo sát sơ lược vài yếu tố chứng minh cho câu trả lời này.

Tạng Luật (Vinaya Pitaka) có ghi lại cuộc tập kết lần thứ hai khoảng 100 năm sau Phật nhập diệt. Như vậy, ít nhất Tạng Luật đã trải qua thêm một lần biên tập, sửa đổi.

Tạng Vi Diệu Pháp (Abhidhamma Pitaka) gồm bảy bộ, trong đó bộ Kathavatthu (Ngữ Tông) được soạn dưới triều vua Asoka (khoảng 200 năm sau Phật nhập diệt theo niên đại truyền thống Tích Lan). Như vậy, ít nhất Tạng Luật đã trải qua thêm một lần biên tập, sửa đổi.

Với hai Tạng trên, còn nhiều thông tin đáng chú ý, nhưng xin được giới hạn ở đây để tránh bài trở nên quá dài, quá “kỹ thuật văn bản”. Còn Tạng Kinh (Sutta Pitaka) thì thế nào? Vấn đề phức tạp hơn một chút.

# Những bản kinh Phật cổ nhất

Như vầy tôi nghe

Evaṃ me sutaṃ, “như vầy tôi nghe”, là lời Ngài Ananda bắt đầu mỗi bài kinh mà có lẽ không Phật tử nào là không biết. Có lẽ ai cũng mong muốn có được may mắn như Ananda, là được trực tiếp nghe Đức Phật giảng dạy. Ngày nay, điều đó là không thể. Tuy vậy, xin được giới thiệu hai bản kinh được xem là thuộc loại cổ nhất với hiểu biết của chúng ta ngày nay, để quý vị hình dung được những bản kinh nguyên sơ nó như thế nào.

Hai bản kinh đó là: Khaggavisāna-sutta, Aṭṭhakavagga. Cả hai bản kinh này đều có mặt trong Suttanipāta thuộc Tiểu Bộ Kinh. Ngài Thích Minh Châu đã dịch với tựa là “Kinh Tập”. (1)

Sau đây, xin giới thiệu vài thông tin về hai bản kinh trên. Phần chú thích nằm ở cuối bài.

Một bản kinh Gandhara có tuổi gần 2000 năm

# Duyên hợp – tinh túy của đạo Phật (7): phụ lục – phân tích công thức 12 nhân duyên

Phụ lục 3: Phân tích về công thức 12 nhân duyên (CTND)

(trong phần này, khi viết CTND chủ yếu  là chỉ công thức nhân duyên gồm 12 yếu tố cùng với 2 quá trình tương ứng quen thuộc.)

1. SỰ KHÔNG CỐ ĐỊNH CỦA CTND TRONG HỆ KINH ĐIỂN PALI

Ta đã biết CTND chuẩn gồm 12 chi nối tiếp nhau lần lượt từ Vô Minh đến Già Chết.

a) Vô Minh à Hành à Thức à Danh-sắc à Lục căn à Xúc à Thọ à Ái à Thủ à Hữu à Sinh à Già-chết + Khổ.

b) – Vô Minh à – Hành à – Thức à – Danh-sắc à – Lục căn à – Xúc à – Thọ à – Ái à – Thủ à – Hữu à – Sinh à – (Già-chết + Khổ).  (dấu “” chỉ “không” –Kan)

Tuy vậy, vẫn có sự không thống nhất xảy ra giữa các bản kinh. Sau đây ta khảo sát một số trường hợp tiêu biểu.

1.1 Kinh Đại Bổn – Trường Bộ số 14  (DN 14)

Bản kinh này có chép việc Bồ-tát Vipassi nói về CTND với 10 chi, không có 2 chi Vô Minh, Hành; quá trình không giống chuẩn.

Danh-sắc à Thức à Danh-sắc à Lục căn à Xúc à Thọ à Ái à Thủ à Hữu à Sinh à Già-chết.

Tuy vậy, bản kinh có nội dung tương đương với DN 14 là Tương Ưng Nhân Duyên SN 12 – IV: Vipassi; trong đó cũng chép Bồ-tát Vipassi nói về CT12ND nhưng lại đầy đủ 12 chi như chuẩn!

1.2 Kinh Đại Duyên – Trường Bộ số 15 (DN 15)

CTND trong bản kinh này chỉ có 9 chi, không có 3 chi Vô Minh, Hành, Lục căn; quá trình không giống chuẩn.

Danh-sắc à Thức à Danh-sắc à Xúc à Thọ à Ái à Thủ à Hữu à Sinh à Già-chết.

# Duyên Hợp – tinh túy của đạo Phật (6): chương 5

CHƯƠNG 5 – DUYÊN HỢP – TINH TÚY CỦA ĐẠO PHẬT

“Ai thấy được lý Duyên Hợp, người ấy thấy được pháp; ai thấy được pháp, người ấy thấy được lý Duyên Hợp”.

(MN 28)

Chương năm bàn về ý nghĩa của Duyên Hợp và ứng dụng của Duyên Hợp trong nhiều tình huống khác nhau. Điểm quan trọng cần nhấn mạnh là Duyên Hợp không tương đương với công thức 12 nhân duyên như quan niệm phổ biến ngày nay. Công thức 12 nhân duyên là muộn sinh, ít nhiều tự mâu thuẫn và nội dung của nó không thể hiện đầy đủ ý nghĩa của Duyên Hợp (xem phụ lục 3).

5.1 Ý NGHĨA CỦA DUYÊN HỢP

Khi (những) cái này có mặt, cái kia có mặt

Với sự có mặt của (những) cái này, cái kia có mặt

Khi (những) cái này vắng mặt, cái kia vắng mặt

Với sự vắng mặt của (những) cái này, cái kia vắng mặt.

iti imasmiṃ sati idaṃ hoti,

imassuppādā idaṃ uppajjati,

imasmiṃ asati idaṃ na hoti,

imassa nirodhā idaṃ nirujjhati.

5.1.1 Sinh paccayā (duyên) Chết đồng thời Chết paccayā (duyên) Sinh

Đầu tiên ta xét ba ví dụ.

Ví dụ 1

– Người A già phải không?

– Người A trẻ phải không?

– Người A vừa già vừa trẻ phải không?

– Người A không già không trẻ phải không?

Ta biết rằng cả bốn câu hỏi trên đều không trả lời được, nếu không có đối tượng nào khác để so sánh với A. Ta cần ít nhất một đối tượng B để so sánh. B có thể là một con người. B cũng có thể không phải là người, chẳng hạn B là “thời gian” thì:

– A già hơn A “cách đây 10 năm”.

– A trẻ hơn A “ba năm sau”.

– A già hơn A “cách đây 10 năm” và trẻ hơn A “ba năm sau”.

– Người A không già không trẻ “bây giờ”.

Như vậy, cần có ít nhất hai đối tượng thì mọi phép so sánh mới có nghĩa. Trong trường hợp A là một bậc giác ngộ – abhisambuddhā, thì vị này không so sánh với bất kì một đối tượng B nào, nên gọi là “bậc giác ngộ không so sánh”, cũng là ý nghĩa của từ abhisambuddhā. Vì vậy, ta không nhất thiết phải nói về một bậc giác ngộ dù với mỹ từ như vô thượng, thế tôn, nhân thiên sư v.v. Từ buddha – bậc giác ngộ có lẽ là vừa đủ.

# Duyên Hợp – tinh túy của đạo Phật (5): chương 4

CHƯƠNG 4 – BÀI GIẢNG ĐẦU TIÊN CỦA ĐỨC PHẬT

Này các vị, sự-luân-chuyển-gồm-ba-quá-trình-sinh-ra-mười-hai-yếu-tố như thế, trước đây ta chưa từng đưa tới cái-thấy-không-phân-biệt về nó. Khi đó, ta chưa là bậc-giác-ngộ-không-so-sánh.

(bản phục hồi SN 56.11)

Ở chương ba, ta đã khảo sát chi tiết về Tứ Diệu Đế để đi tới một kết luận về “bốn điều về dūkkha”. Ta đã biết “bốn điều về dūkkha” có tính gợi mở dẫn dắt nhiều hơn, chứ nó không là yếu tố cốt lõi của bản Kinh Chuyển Pháp Luân. Trong chương bốn, chúng ta sẽ khảo sát để tìm ra yếu tố cốt lõi này; đồng thời phục hồi bản Kinh Chuyển Pháp Luân dựa trên nhiều dữ kiện đã có.

4.1 YẾU TỐ CỐT LÕI TRONG BÀI GIẢNG ĐẦU TIÊN

1) Tên kinh SN 56.11

Bản kinh SN 56.11 (Kinh Chuyển Pháp Luân phiên bản tiếng Pali – Tương Ưng Bộ – 56.11) hiện có tên là Dhammacakkappavattanasutta – Sự khởi động và luân chuyển của bánh xe Pháp. Nguyên nhân của cách đặt tên bản kinh như vậy có lẽ là do từ parivaṭṭaṃ vốn có nghĩa liên quan tới “sự luân chuyển”. Nó liên hệ tới hình ảnh luân chuyển như của bánh xe (cakka) chẳng hạn, và do đó, các nhà biên tập kinh điển đã đưa ra một cái tên kinh như vậy. Vì thế nên nội dung chính của bản kinh có thể liên quan tới “sự luân chuyển”.

2) “tiparivaṭṭaṃ dvādasākāraṃ” là gì?

Bản thân cụm từ “tiparivaṭṭaṃ dvādasākāraṃ” trong bản kinh SN 56.11 được người viết chuyển ngữ là “sự-luân-chuyển-gồm-ba-quá-trình-sinh-ra-mười-hai-yếu-tố”. Trong bản kinh SN 56.11 nó được trình bày theo cấu trúc như sau:

Thánh đế về Khổ này, này các Tỷ-kheo, đối với các pháp từ trước các Như Lai chưa từng được nghe, nhãn sanh, trí sanh, tuệ sanh, minh sanh, quang sanh. Thánh đế về Khổ cần phải liễu tri này, này các Tỷ-kheo, đối với các pháp từ trước đến nay các Như Lai chưa từng được nghe… quang sanh. Thánh đế về Khổ đã được liễu tri này, này các Tỷ-kheo, đối với các pháp… quang sanh.

Như vậy, cấu trúc bản kinh SN 56.11 có hai điểm nói rõ về “sự luân chuyển” là: “cần phải liễu tri” và “đã được liễu tri”. Ngoài ra, ta không thể tìm được sự luân chuyển thứ ba. Nếu xem cụm từ “Thánh đế về Khổ này” là một sự luân chuyển thì nó ít nhiều tối nghĩa, vì một cấu trúc từ như vậy không cho thấy được sự luân chuyển ở chỗ nào.

Tình trạng tối nghĩa như vậy làm ta ít nhiều gặp khó khăn khi truy tìm công thức:

4 (diệu đế) x 3 (sự luân chuyển) = 12.

Ngoài ra, ta thấy trong cụm từ ba chuyển và mười hai hành tướng”tiparivaṭṭadvādasākāraṃ” chỉ nói tới hai con số 3 12. Điểm này làm tăng tính thuyết phục cho nhận xét rằng, sự-luân-chuyển-gồm-ba-quá-trình-sinh-ra-mười-hai-yếu-tố là yếu tố cốt lõi của bản kinh.

# Duyên Hợp – tinh túy của đạo Phật (4): chương 3

CHƯƠNG 3 – BÀN VỀ “TỨ DIỆU DẾ”

Này các Kālāmā, chớ có tin vì nghe báo cáo, chớ có tin vì nghe truyền thuyết; chớ có tin vì theo truyền thống; chớ có tin vì được kinh điển truyền tụng; chớ có tin vì lý luận suy diễn; chớ có tin vì diễn giải tương tự; chớ có tin vì đánh giá hời hợt những dữ kiện; chớ có tin vì phù hợp với định kiến; chớ có tin vì phát xuất từ nơi có uy quyền, chớ có tin vì vị sa-môn là bậc đạo sư của mình.

(AN 3.65)

Chương ba bàn về một số sự không thống nhất, cộng với mâu thuẫn và nhầm lẫn trong khái niệm “Tứ Diệu Đế” như được trình bày trong kinh điển còn tồn tại đến ngày nay, để đi tới một số kết luận và giải pháp giúp tháo gỡ được những mâu thuẫn và nhầm lẫn đó.

3.1 QUAN NIỆM VỀ DŪKKHA THỜI CỔ ẤN ĐỘ

Như đã biết, trước khi đạo Phật ra đời thì tại Ấn Độ đã có một truyền thống tâm linh lâu đời với nhiều quan điểm và phương pháp tu tập đa dạng trong truyền thống Brāhmaṇa bảo thủ lẫn trong phong trào Śramaṇa đổi mới. Dù có ít nhiều khác biệt nhưng cả hai đều công nhận một số quan niệm chung như sau: các sinh vật kể cả loài người do có hành động (karma) nên bị vướng vào vòng luân hồi (samsāra) và phải trải qua vô số kiếp. Chừng nào còn trong vòng luân hồi thì con người ít nhiều phải có dūkkha (khổ, phiền não, bất toại nguyện…nói chung là những trạng thái không như ý muốn). Vậy làm thế nào để thoát khỏi dūkkha không như ý muốn đó? Ở đây bắt đầu xuất hiện những câu trả lời khác nhau về cách thức thoát khỏi dūkkha, còn gọi là giải thoát (mokśa).

Giới Brāhmaṇa bao gồm cả các nhà Upaniśad quan niệm rằng Tự Ngã hay còn gọi là Linh Hồn (ātman) là bản chất của mỗi con người; theo đó Tự Ngã là trường tồn bất biến, nó không tham gia vào bất cứ hành động nào cũng như không bị ảnh hưởng bởi bất kì hành động nào. Như vậy, không có dūkkha nào có thể ảnh hưởng tới Tự Ngã. Vậy làm sao con người có thể thoát khỏi dūkkha, thoát khỏi luân hồi, nghĩa là đạt giải thoát? Câu trả lời của giới Brāhmaṇa thú vị thay lại rất đơn giản, khác với những triết lí cực kì phực tạp khác của nó: ātman của mỗi người sẽ đi qua vô số kiếp rồi tự động trở về hòa tan với Brahman (Đại Ngã), giống như giọt nước rơi xuống hòa tan vào mặt hồ. Theo quan niệm này thì con người không làm gì hơn được để giải thoát khỏi dūkkha. Vậy thì cứ sống và hưởng thụ các khoái lạc giác quan (kāma) chừng nào còn có thể; đồng thời tôn kính và phục vụ giới Brāhmaṇa có vài trò làm trung gian giữa Brahman tối thượng và ātman của mỗi người. Ta gọi đây là quan niệm “dục ái” (kāmataṇhā).

Hình 13: nơi cư trú của Đức Phật tại tu viện Jetavana, Savatthi

Giới Duy vật luận thuộc phong trào Śramaṇa quan niệm rằng chỉ có những gì cảm nhận được bằng các giác quan mới thực sự tồn tại, còn tất cả những thứ vô hình như Brahman, ātman, luân hồi, giải thoát, đạo đức…đều phi thực và vô nghĩa. Hệ quả là con người cứ sống theo cách sung sướng nhất có thể và chết là hết. Ta gọi đây là quan niệm “hữu ái” (bhavataṇhā).

Giới Khổ hạnh hành xác cũng thuộc phong trào Śramaṇa quan niệm rằng chừng nào con người còn tạo ra hành động (karma) thì chừng đó họ còn bị vướng trong vòng luân hồi chỉ toàn là dūkkha. Nên để đạt giải thoát cần phải chấm dứt mọi hành động kể cả về thân, về lời hay về suy nghĩ. Vì vậy, mục tiêu của các nhà khổ hạnh là tìm mọi cách tiêu diệt hành động; tốt nhất là bằng cách khổ hạnh cho đến chết hoặc tự tử để chấm dứt mọi hành động. Giải thoát đạt được khi chết. Ta gọi đây là quan niệm “phi hữu ái” (vibhavataṇhā).

3.2 MÂU THUẪN NỘI TẠI TRONG KINH ĐIỂN ĐẠO PHẬT VỀ TỨ DIỆU ĐẾ

Tứ Diệu Đế ngày nay được xem là khái niệm cơ bản nhất trong đạo Phật, không phân biệt truyền thống nào. Khái niệm Tứ Diệu Đế được đề cập trong Kinh Chuyển Pháp Luân SN 56.11 thuộc truyền thống Thượng Tọa Bộ (Theravāda), ngày nay được xem là bài giảng đầu tiên của Đức Phật, như sau [11]: